A. RELASI

        Relasi ialah aturan yang dapat menghubungkan disetiap anggota himpunan A ke himpunan B. Dimana A dapat disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan). Relasi pada himpunan A ke himpunan B ialah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A pada anggota-anggota himpunan B. Dalam mengerjakan soal relasi dapat dikerjakan menggunakan tiga metode yaitu diagram panah, diagram cartesius, dan juga himpunan pasangan berurutan.

Contoh:
Tentukanlah relasi yang dapat menghubungkan himpunan P ke himpunan Q berikut ini!
P={1, 2, 3, 4, 5} dan Q={1, 4, 9, 16, 25}
Penyelesaian:
Relasi yang dapat menghubungkan antara himpunan P ke himpunan Q adalah “akar dari”.

1. Cara Menyajikan Relasi dan Diagram Panah

     Relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam beberapa cara, yaitu diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Perhatikan uraian berikut ini!

     Rani, Dian, Isnie, dan Dila sedang berbincang-bincang di sebuah taman dekat sekolah. Mereka sedang membicarakan olahraga kegemarannya masing-masing.

       Rani menyukai olahraga bulu tangkis dan basket. Dian menyukai olahraga basket dan atletik, Isnie menyukai olahraga senam dan Dila menyukai olahraga basket dan tenis meja.

       Misalkan himpunan P = {Rani, Dian, Isnie, Dila} dan Q = {Basket, Bulu Tangkis, Atletik, Senam, Tenis Meja}. Kata “menyukai” adalalah relasi yang menghubungkan himpunan P dan himpunan Q.

       Maka relasi tersebut dapat disajikan dalam bentuk berikut ini.

     Diagram Panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

 

     Diagram Kartesius

Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu mendatar (sumbu-X), sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu tegak (sumbu-Y). Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah atau titik seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

     Himpunan Pasangan Berurutan

Selain menggunakan diagram panah dan kartesius, sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Adapun cara penulisannya adalah anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya. Berdasarkan soal di atas, maka diperoleh himpunan pasangan berurutan sebagai berikut. {(Rani, basket), (Rani, bulu tangkis), (Dian, basket), (Dian, atletik), (Isnie, senam), (Dila, basket), (Dila, tenis meja)}.

2. Sifat-sifat Relasi

Sifat Reflekatif
Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk p € P berlaku (p, p) €  R. Contoh : Diberikan Himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil adalah himpunan S = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif  sebab setiap angggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

Sifat Simetris
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x, y) € R berlaku (y, x) €  R. Contoh : Diberikan himpunan P ={1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R ={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 1), (3, 1), (3, 3)}. Relasi R tersebut bersifat simetris untuk setiap (x,y) € R, berlaku (y,x) € R.

Sifat Transitif
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat Transitif, apabila untuk setiap (x, y) € R dan (y, z) € R maka berlaku (x, z) € R. Contoh : Diberikan himpunan P ={1, 2, 3}. Didefinisikan relasi  pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan  R= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 1), (3, 1), (3, 3)}. Relasi R tersebut bersifat Transitif sebab (x, y) € R din (y, z) € R  berlaku (x, z) € R.

Sifat Antisimetris
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x, y) € R dan (y, x) € R berlaku x = y. Contoh : Diberikan himpunan C =  {2, 4, 5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a, b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2, 2), (4, 4), (5, 5), (4, 2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

Sifat Ekuivalensi
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif. Contoh : merupakan relasi ekivalensi himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan R={(1, 1),(1, 2),(2, 2),(2, 1),(3, 3)}. Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi.

 

3. Contoh Soal dan Penyelesaian

Pertanyaan : Jika Siska menyukai sepakbola, Liya menyukai voli dan basket dan Berli menyukai basket dan sepakbola. Buatlah relasi himpunan pasangan berurutan!
Penyelesaian :
{(Siska, sepakbola)}, {(Liya, voli)}, {(Liya, basket)}, {(Berli, basket)}, {(Berli, sepakbola)}
Pertanyaan : Himpunan P = {2, 3, 4, 6} dan Q = {1, 2, 3, 4, 6, 8} dan “faktor dari” merupakan relasi yang menghubungkan antara himpunan P ke himpunan Q. Buatlah relasi ke bentuk himpunan pasangan berurutan!
Penyelesaian : {(2, 2)}, {(2, 4)}, {(2, 6)}, {(2, 8)}, {(3, 3)}, {(3, 6)}, {(4, 4)}, {(4, 8)}, {(6, 6)}

B. FUNGSI

      Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah “fungsi”, “pemetaan”, “peta”, “transformasi”, dan “operator” biasanya dipakai secara sinonim. Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y = f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5) = 10.

 

Berikut adalah sifat-sifat fungsi:

Fungsi injektif, fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂). 

 

Fungsi surjektif, fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range). 

 

Fungsi bijektif, fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

1. Domain, Kodomain, dan Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil. 

contoh : 

Diketahui himpunan P = { 1, 2, 3, 4 } dan himpunan Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1, 2),(2, 4),(3, 6),(4, 8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1, 2, 3, 4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

Range/daerah hasil = { 2, 4, 6, 8 }

 

2. Contoh Soal dan Penyelesaian

Diberikan dua buah fungsi:
f(x) = 3x² + 4x + 1
g(x) = 6x
Tentukan:
a) (f o g)(x)
b) (f o g)(2)
Pembahasan
Diketahui:
f(x) = 3x² + 4x + 1
g(x) = 6x

a)  (f o g)(x)
= 3(6x)² + 4(6x) + 1
= 108x² + 24x + 1
b) (f o g)(2)
(f o g)(x) = 108x² + 24x + 1
(f o g)(2) = 108(2)² + 24(2) + 1
(f o g)(2) = 432 + 28 + 1 = 461

Diketahui f(x) = x² + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka (f o g)(x) = ....
A. 4x² − 12x + 10
B. 4x² + 12x + 10
C. 4x² − 12x − 10
D. 4x² + 12x − 10
E. − 4x² + 12x + 10
(Dari soal Ebtanas Tahun 1989)
Pembahasan
f(x) = x² + 1
g(x) = 2x − 3
(f o g)(x) =.......?
Masukkan g(x) nya ke f(x)
(f o g)(x) =(2x − 3)² + 1
(f o g)(x) = 4x² − 12x + 9 + 1
(f o g)(x) = 4x² − 12x + 10

 

C. PROPOSISI

1.  Konsep Dasar Notasi

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya. Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r dan sebagainya. Misalnya, p :  6 adalah bilangan genap

Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “6 adalah bilangan genap”. Begitu juga dengan :

q : Larry Page dan Sergey Brin adalah penemu Google .

r : 2 + 2 = 4. dan sebagainya.

2. Contoh Proposisi

- Semarang ialah Ibukota provinsi Jawa Tengah. (Proposisi yang bernilai benar karena Semarang ialah Ibukota Jawa Tengah).

- Soekarno ialah Presiden Pertama Republik Indonesia.

- 13 adalah bilangan ganjil.

- 1 + 1 = 2.

- 5 + 7 = 10 (Proposisi yang bernilai salah).

- x + 5 = 11 (Bukan proposisi, karena “x” belum ditentukan).

3. Contoh Soal dan Penyelesaian

Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah....

A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.

B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.

C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.

D. Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.

E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.

(Soal UN Matematika Tahun 2008 P12)

Pembahasan

p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap

~p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap

Daftar Pustaka:

https://bersekolah.co.id/relasi-adalah/

https://www.berpendidikan.com/2016/05/definisi-atau-pengertian-relasi-dalam-matematika-dan-cara-penyajiannya.html

https://www.scribd.com/document/364938005/Beberapa-Sifat-Relasi

https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29

http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/80-fungsi-komposisi-dan-komposisi-fungsi#ixzz34WvqRXvl

https://www.gurupendidikan.co.id/proposisi-pengertian-jenis-bentuk-contoh/

https://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/93-10-sma-soal-pembahasan-logika-matematika